【愛化簡的沈老師】專欄

沈鳴老師是青浦協(xié)和高中部的數(shù)學(xué)老師，他本科畢業(yè)于復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系，并在香港城市大學(xué)獲得博士學(xué)位。他在國際教育領(lǐng)域從事教育教學(xué)工作多年，擁有豐富的教學(xué)經(jīng)驗，最喜歡化繁為簡，用最簡單的語言，講解最復(fù)雜的數(shù)學(xué)。

愛化簡的沈老師，從現(xiàn)在開始將定期帶領(lǐng)我們，從看似最簡單的問題開始，引發(fā)和拓展我們對數(shù)學(xué)問題的深度思考，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。

畢達哥拉斯定理 6B陳章涵,

為什么兩個不同大小的圓，它們的周長直徑比是相同的？

這個證明并不簡單，需要用到極限，而極限屬于高等數(shù)學(xué)里的概念。

除了需要用到極限，證明里還需要用一個定理：

相似三角形的對應(yīng)邊成比例。

這個定理，大多數(shù)同學(xué)都知道，但如果要求證明，大概跟“為什么兩個不同大小的圓，它們的周長直徑比是相同的”結(jié)果差不多。

相似三角形的對應(yīng)邊成比例，這個看似顯然的結(jié)論，證明中需要的技巧性很高，還要用到一個非常重要的定理，勾股定理。

對于任意直角三角形，其斜邊的平方和，等于兩條直角邊的平方和——這就是勾股定理。

用代數(shù)式表示勾股定理，就是

勾股定理，是中國傳統(tǒng)的叫法，它在西方被稱為畢達哥拉斯定理。

同一個定理，為何叫法不同？

我國西漢時期有本算書，名叫《周髀算經(jīng)》，里面有記載，勾三股四弦五。

勾和股，是中國古代對直角三角形里，兩條直角邊的叫法。弦就是指斜邊，也就是直角三角形里，最長的那條邊。

勾三股四弦五，意思就是，一個直角三角形，兩條直角邊長度分別為3和4，那么斜邊長度為5。

勾三股四弦五，雖然很正確，但遺憾的是，它算不上一個定理，最多只能算是符合定理的一個特例。

勾三股四弦五，勾五股十二弦十三，勾七股二十四弦二十五，這些都對，但都只是特例。

在數(shù)學(xué)的領(lǐng)域里，特例只是特例，再多的特例，未必是普遍規(guī)律，更不能構(gòu)成定理。

畢達哥拉斯是古希臘的數(shù)學(xué)家，他發(fā)現(xiàn)這個規(guī)律的時間，比《周髀算經(jīng)》晚了幾百年。

然而，畢達哥拉斯給出了嚴(yán)格的證明，即對于任意直角三角形，其斜邊長度的平方，都等于兩條直角邊的平方和。

證明非常簡單，連小學(xué)生都能看懂。

給定一個邊長為a+b的正方形ABCD，四條邊上分別取四個點EFGH，分別把四條邊分成a和b兩部分。有兩種方法，見下圖。

第一種方法（見上圖左邊），連接EFGH，它剛好構(gòu)成一個正方形。

因此，正方形ABCD的面積，等于正方形EFGH的面積，加上四個直角三角形的面積。

四個直角三角形，可以拼成兩個長方形，長和寬分別為a和b。所以

第二種方法（見上圖右邊），正方形ABCD的面積，等于兩個小正方形的面積，加上兩個長方形的面積。

兩個長方形，長和寬分別為a和b，還可以分成四個直角三角形。所以

兩種方式計算出來的結(jié)果相等，即

等號兩邊同時減去2ab，就可以得到

畢達哥拉斯給出的證明，奠定了這個關(guān)于直角三角形的重要規(guī)律，最終以他的名字來命名。

畢達哥拉斯定理，可謂名至實歸。

畢達哥拉斯定理，可以說是最重要的幾何定理，沒有之一，因為很多幾何定理的證明，都繞不開它。

比如上面提到的，想要證明兩個不同大小的圓，它們的周長直徑比是相同的，就要用到相似三角形的對應(yīng)邊成比例。而想要證明相似三角形的對應(yīng)邊成比例，就要用到畢達哥拉斯定理。

三角中的余弦定理，看起來跟畢達哥拉斯定理有點相似：

余弦定理，可視為畢達哥拉斯定理的推廣。因為畢達哥拉斯定理，只適用于直角三角形，余弦定理可用于任意三角形，包括直角三角形。當(dāng)角C是90度，它的余弦值為0，余弦定理的等式中，最后一項消失，剛好就是畢達哥拉斯定理。

畢達哥拉斯定理，可以說是余弦定理的一種特殊情況。

然而，余弦定理的證明，必須要用到畢達哥拉斯定理。

沒有畢達哥拉斯定理，就沒有余弦定理。

三角中還有一組重要的公式，名叫復(fù)合角公式：

復(fù)合角公式，是三角里所有關(guān)于角度公式的起點。無論誘導(dǎo)公式，倍角公式，還是輔助角公式，都可視為復(fù)合角公式的特例。

復(fù)合角公式的證明，需要用到余弦定理。而余弦定理的證明，繞不開畢達哥拉斯定理。

畢達哥拉斯定理，就好像幾何大廈中，那塊最底層的基石。

更神奇的是，通過畢達哥拉斯定理，可以推出無理數(shù)的存在。

一個直角三角形，兩條直角邊的長度都是1，使用畢達哥拉斯定理，可以計算得出，它的斜邊長度等于根號2。

根號2，是一個無理數(shù)。

所謂無理數(shù)，不是無理取鬧的數(shù)。

一個數(shù)，若可以表示成兩個整數(shù)相除的形式，它就是有理數(shù)。

一個數(shù)，不是有理數(shù)，就是無理數(shù)。

利用反證法，不難證明，根號2無法表示成兩個整數(shù)相除的形式，因此根號2不是有理數(shù)，而是無理數(shù)。

無理數(shù)有很多很多，比如根號2，根號3，根號5等，圓周率pi也是無理數(shù)。

事實上，有理數(shù)有無窮多個，而無理數(shù)比有理數(shù)還要多得多。

在畢達哥拉斯定理被發(fā)現(xiàn)前，人們并不知道無理數(shù)的存在，以為所有的數(shù)都是有理數(shù)。

作為一個幾何定理，畢達哥拉斯定理還貢獻了一個意外的副產(chǎn)品：數(shù)字中除了有理數(shù)，還有無理數(shù)。

事實上，有理數(shù)加上無理數(shù)，才構(gòu)成了完整的數(shù)字大家族。

作為史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，畢達哥拉斯本可以通過無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)，更上一層樓。

遺憾的是，畢達哥拉斯一直堅定地相信，所有的數(shù)，都可以表示為兩個整數(shù)相除的形式，只有這樣的數(shù)，才是完美的數(shù)。

信奉完美主義的他，無法接受任何不完美的數(shù)。

當(dāng)他發(fā)現(xiàn)無理數(shù)的存在，認(rèn)為這是一個漏洞，是對數(shù)字完美性的顛覆，他選擇拒絕接受無理數(shù)，裝作不知道。

更讓人震驚的是，當(dāng)畢達哥拉斯的學(xué)生希帕索斯，發(fā)現(xiàn)了根號2是無理數(shù)，去和畢達哥拉斯討論。畢達哥拉斯為了隱瞞無理數(shù)的存在，竟然把希帕索斯扔進了海里……

追求極端的完美，結(jié)果極其不完美。

畢達哥拉斯定理，是一個偉大的發(fā)現(xiàn)，它讓畢達哥拉斯名垂千史，也讓他蒙上了污點。

完美的定理，在追求完美之人的手里，也會落得不完美。

完美的真理，經(jīng)過不完美之人的詮釋，也會變得不完美。

凡是大人物，尚有缺點、盲點。

作為普通人，更當(dāng)慎之、鑒之。

常存謙卑的心，才能永攀真理大廈，更上一層樓。